See image — AITS & Test Series Chemistry Question

💡 Solution & Explanation

The given functional equation along with the same equation but with x replaced by x 1 1 and x 1 x   respectively, yields:   1 1 f x f 1 tan x x           1 x 1 1 x 1 f f tan x 1 x x                         1 1 1 f f x tan 1 x 1 x               . Adding the first and third equations and subtracting the second gives:   1 1 1 1 x 1 2f x tan x tan tan 1 x x                    now  1 1 1 tan t tan t      = 2 if t > 0 and 2   if t < 0; it follows that for   x 0, 1  ,       1 1 1 2 f x f 1 x tan x tan x                     1 1 1 tan 1 x tan 1 x                  1 1 x 1 x tan tan x x 1                        3 2 2 2 2         . Thus,       1 1 0 0 3 4 f x dx 2 f x f 1 x dx 2        . and  x 1 x 1 1 4. lim f x 4 lim 2        1 1 1 1 x 1 3 tan x tan tan 2 0 1 x x 4 2 2                                      and  1 1 1 1 x 1 g x 2f(x) tan x tan tan 1 x x                     1 1 1 1 1 x g tan tan 1 1 x 1 x x                                  =   1 1 x tan tan 1 x x 1          1 1 1 1 1 1 x 1 x g x g tan tan 1 x tan tan x 1 x x x 1                              2 2            {when x  (0, 1)}.